Die fraktale Geometrie ist ein relativ neues Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit geometrischen Objekten, den sog. Fraktalen, deren Eigenschaften sich von denen der “klassischen” Geometrie grundlegend unterscheiden. [A]  [A] Im Folgenden aus [Mand91] S. 27ff.; [WP5]; [Reit06] S.13f., S. 52 Wichtigstes Merkmal von Fraktalen ist die Skaleninvarianz, d.h., dass man bei jeder Vergrößerungsstufe Einzelheiten erkennen kann, egal wie stark man in das Objekt hinein dringt. Wenn man dagegen den Rand eines “klassischen” Objektes, wie den des Kreises, vergrößert, so ähnelt dieser mit zunehmender Vergrößerung immer mehr einer schlichten Gerade. Solche Objekte werden demnach als glatt bezeichnet. Bei einem Fraktal wird man jedoch nie eine Gerade erkennen können, sondern immer mehr Feinheiten des Objektes. Daher rührt die Bezeichnung “Fraktal”, vom lateinischen “fractus” für “gebrochen”, d.h. mit unzähligen Details übersät. Derartige Objekte waren schon seit Anfang des 20. Jahrhunderts bekannt, aber erst ab ca. 1970 wurde deren grundlegende Bedeutung erkannt. Davor wurden diese Objekte als “mathematische Monster” bezeichnet, da sie, wie ich im Folgenden erläutern werde, paradoxe Eigenschaften besitzen, die dem menschlichen Verstand mehr oder weniger “unbegreiflich” erscheinen. Dies änderte sich erst durch die Arbeit des Mathematikers Benoît Mandelbrot. Er erkannte, dass man mit Fraktalen etwas gänzlich Neues machen konnte, etwas was bis zu dieser Zeit als praktisch mathematisch unmöglich galt: die Modellierung und Beschreibung von “unregelmäßigen” Objekten der Natur, insbesondere der belebten, von der man annahm, sie könne nicht geometrisch beschrieben werden.
In dieser Besonderen Lernleistung setzte ich mich zunächst mit den “klassischen” Fraktalen des 20. Jahrhunderts auseinander, um anhand dieser die grundlegenden Konzepte der Fraktalgeometrie zu erläutern. Anschließend stelle ich die sog. iterierten Funktionensysteme (IFS), ein mächtiges Verfahren zur Kodierung und Generierung von Fraktalen, vor. Dabei werde ich auf die genaue Definition und deren Verwendung zur Modellierung und Darstellung Natur-ähnlicher Strukturen eingehen. Um die Theorie der Fraktale anschaulich erläutern zu können, habe ich diese Arbeit mit zahlreichen Bildern, die ich zum Großteil selbst erstellt habe, illustriert. Dadurch vergrößert sich zwar der Umfang des Hauptteils, doch ist es meiner Meinung nach unmöglich, Geometrie ohne Verwendung von Bildern zu erklären.
Im Rahmen dieser BeLL ist ebenfalls ein Computerprogramm entstanden, das die Funktionalität der IFS implementiert und anschaulich begreifbar macht. Darüber hinaus befinden sich in dieser Arbeit Ausarbeitungen, die ich nicht der Literatur entnommen habe, insbesondere die Flächenformel der Cesàro-Kurve.

Um Fraktale und ihre zugrunde liegende Geometrie verstehen zu können, ist es zunächst notwendig, einige mathematische Begriffe zu erläutern, die nicht in der Schulmathematik vermittelt wurden. Ohne die Kenntnis dieser Termini ist eine tief gehende Auseinandersetzung mit den Methoden und Theorien der fraktalen Geometrie nicht möglich. Bedauerlicherweise sind die Themen jedoch derart umfangreich, dass ich nur die wichtigsten Aspekte behandeln kann.

Der Begriff des Raumes ist in der Mathematik sehr weit gefasst. Ich werde mich nur auf solche Räume beschränken, die mir aus der Schulmathematik bekannt sind bzw. sich einfach daraus herleiten lassen. Ich beginne mit folgender Definition:

Ein Vektorraum V (oder linearer Raum) ist ein Raum, dessen Punkte als Vektoren bezeichnet werden, wenn Folgendes gilt: [C]  [C] Im Folgenden aus [Barn95] S.7; [Baum01] S.47

Somit sind ℝ, ℝ² und ℝ³Beispiele für Vektorräume, da beide Bedingungen erfüllt sind. Ein Vektorraum kann aber auch eine beliebige andere Menge sein, auf die die obigen Bedingungen zutreffen.

⎛⎜⎝ 1   2 ⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ 3   4 ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ 4   6 ⎞⎟⎠und 3⋅⎛⎜⎝ 1   2 ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ 3   6 ⎞⎟⎠

Nun komme ich zu einer Art von Räumen, die für das Verständnis der fraktalen Geometrie von entscheidender Bedeutung sind. [D]  [D] Im Folgenden aus [Barn95] S. 11f.; [Peit92] S. 315ff.
Unter einem metrischen Raum (X, d) versteht man einen gegebenen Raum X (z.B. den Vektorraum ℝ²), der mit einer sog. Metrik d versehen ist. Eine Metrik d(x, y) ist eine Funktion, die den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten x, y ∈ X angibt. Diese Funktion darf aber nicht beliebig sein, sondern muss folgende Eigenschaften besitzen:

Aus der Schulmathematik ist bereits eine solche Metrik bekannt, ohne sie explizit als solche aufgefasst zu haben, nämlich der Abstand zwischen zwei Punkten als Betrag des Vektors von A nach B:

Eine Abbildung ist allgemein eine Funktion f, die einen Raum X auf einen Raum Y abbildet, formal f: X → Y, dabei wird jeder Punkt des Raumes X auf einen Punkt des Raumes Y abgebildet. [F]  [F] [Barn95] S. 57f.; [Baum01] S.174 Für die fraktale Geometrie sind eine spezielle Art von Abbildungen, sog. affine Abbildungen, für das Verständnis unbedingt notwendig. [G]  [G] Im Folgenden aus [Baum01] S.177ff.; [Spre09] S.5; [Gruh06] S. 21 Eine affine Abbildung bildet einen Punkt eines beliebigen Vektorraumes auf einen anderen Punkt desselben Raumes ab. Ich werde mich hierbei auf den Raum ℝ² beschränken. Eine affine Abbildung w hat demnach die allgemeine Form Affine Abbildungen ordnen einem Urbildpunkt P ∈ ℝ² genau einen Bildpunkt P’ ∈ ℝ² zu, man nennt eine solche Abbildung eineindeutig bzw. bijektiv. Aus der Schulgeometrie sind bereits einige affine Abbildungen bekannt, darunter die Ähnlichkeitsabbildungen, wie z.B. die zentrische Streckung. Zu den affinen Abbildungen zählen insgesamt die Translation (Verschiebung), die Skalierung, die Rotation (Drehung), die Spiegelung und die Transvektion (Scherung). Alle diese Abbildungen und deren Kombinationen lassen sich durch eine Matrix
A = ⎛⎜⎝ a b     c d ⎞⎟⎠ und einen Verschiebungsvektor ⟶v = ⎛⎜⎝ e   f ⎞⎟⎠ darstellen.
Zusammengefasst lässt sich eine affine Abbildung durch die Formel

(7) w: ⟶p’ = A⟶p + ⟶v

(8) w: ⎛⎜⎝ p_x’   p_y’ ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ a b     c d ⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝ p_x   p_y ⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ e   f ⎞⎟⎠

beschreiben. Um nun die Koordinaten eines Punktes zu berechnen, muss man zunächst die Matrizenmultiplikation A⋅⟶x = ⎛⎜⎝ a b     c d ⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝ p_x   p_y ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ a⋅p_x + b⋅p_y   c⋅p_x + d⋅p_y ⎞⎟⎠ ausführen. Anschließend addiert man ⟶v und erhält p_x’ = a⋅p_x + b⋅p_y + e   p_y’ = c⋅p_x + d⋅p_y + f für die beiden Koordinaten des Bildpunktes P’.
Nun möchte ich erläutern, wie man durch die Matrizendarstellung alle oben erwähnten Abbildungen beschreiben kann.

Abbildung 2 Eine skalierende und scherende affine Abbildung wird auf das schwarze Quadrat angewendet. Ergebnis ist das graue Parallelogramm.

Für die Translation um einen Vektor ⟶v = ⎛⎜⎝ v_x   v_y ⎞⎟⎠ benutzt man diesen als Verschiebungsvektor. Da bei der Matrizenmultiplikation die Ursprungskoordinaten erhalten bleiben sollen, muss die Abbildungsmatrix A = ⎛⎜⎝ 1 0     0 1 ⎞⎟⎠ lauten. Somit erhält man:

(9) w_t: ⎛⎜⎝ p_x’   p_y’ ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ 1 0     0 1 ⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝ p_x   p_y ⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ v_x   v_y ⎞⎟⎠

Diese Abbildung verschiebt also den Punkt P’ um den Vektor ⟶v. [H]  [H] [Gruh06] S. 6f.; [Spre09] S. 6

⟶a’ = ⎛⎜⎝ 1 0     0 1 ⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝ 3   6 ⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ 2   3 ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ 3 + 0 + 2   0 + 6 + 3 ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ 5   9 ⎞⎟⎠

Die Koordinaten von A’ lauten demnach A’(5|9).

Eine Skalierung ist eine Größenänderung eines Objektes, z.B. eines Rechtecks. Dabei kann dies in x- und bzw. oder in y-Richtung geschehen. Ein Objekt wird skaliert, indem man eine affine Abbildung der Form (der Verschiebungsvektor wurde der Übersichtlichkeit wegen weggelassen) verwendet. Dabei skalieren der Faktor a in x-Richtung und der Faktor b  in y-Richtung. [I]  [I] [Spre09] S. 6; [Peit92] S. 283

Die affine Abbildung dazu lautet w_s = ⎛⎜⎝ p_x’   p_y’ ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ 0, 5 0     0 0, 5 ⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝ p_x   p_y ⎞⎟⎠. Somit lauten die Koordinaten des neuen Dreiecks A’(0|0, 5),  B’(0|0)  und C’(0, 5|0).

Als Nächstes behandle ich die Rotation, zunächst nur um den Ursprung, dann um einen beliebigen Punkt Q. Um einen Punkt P mit einen Winkel α gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung O (0|0) zu drehen, verwendet man eine Abbildungsmatrix (Rotationsmatrix) der Form Um nun eine Rotation um einen beliebigen Punkt Q = (q_x|q_y) durchzuführen, muss man den zu drehenden Punkt P und den Punkt Q derart verschieben, dass Q auf O fällt. Dazu verschiebt man P einfach um  − q =  − ⎛⎜⎝ q_x   q_y ⎞⎟⎠ . Nun kann man die gewohnte Rotationsmatrix anwenden. Anschließend muss man P an den Ausgangspunkt zurückversetzen. Zusammengefasst ergibt dies ⟶p’ = A⋅(⟶p − ⟶q) + ⟶q. [J]  [J] [Spre09] 8f.

Auf die weiteren Arten von affinen Abbildungen wie Scherung und Spiegelung gehe ich nicht weiter ein, da die bereits beschriebenen Arten für das Verständnis ausreichend sind. Erstere lassen sich aber ebenfalls durch die Elemente der Abbildungsmatrix und einen Verschiebungsvektor darstellen.

Um z.B. erst eine Rotation α und anschließend eine Skalierung β, also β(α(⟶x)), durchzuführen, lassen sich zwei affine Abbildungen α: ⟶x’ = A⋅⟶x und β: ⟶x’ = B⋅⟶x miteinander verknüpfen, indem man die Matrix A mit der Matrix B und anschließend mit ⟶x multipliziert. Für die Verkettung verwendet man das Symbol ○. Der Ausdruck α○β bedeutet, dass erst β und dann α angewendet wird, d.h. α(β(⟶x)). Für das obige Beispiel ergibt sich daher ⟶x’ = B⋅A⋅⟶x = β○α. Zu beachten ist, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also in der Regel A⋅B ≠ B⋅A gilt. [K]  [K] [Baum01] S.186; [Spre09] S. 12

Eine affine Abbildung lässt sich durch jeweils drei gegebene Bild- und Urbildpunkte ⟶x,  ⟶y,  ⟶z,
⟶x’,  ⟶y’,  ⟶z’ berechnen. [L]  [L] Im Folgenden aus [Spre09] S. 11 Dazu nutzt man die Tatsache, dass
⎛⎜⎝ a b     c d ⎞⎟⎠⎛⎜⎝ p_x   p_y ⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ e   f ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ p_x’   p_y’ ⎞⎟⎠ gilt und man somit zwei lineare Gleichungssysteme

(12) x_xa + x_yb + e = x_x’   y_xa + y_yb + e = y_x’   z_xa + z_yb + e = z_x’ und x_xc + x_yd + f = x’   y_xc + y_yd + f = y_y’   z_xc + z_yd + f = z_y’

aufstellen kann. Durch Lösen dieser LGS erhält man die Elemente der Abbildungsmatrix a,  b,  c,  d und die Komponenten des Translationsvektors e,  f  der entsprechenden Abbildung w, die ⟶x,  ⟶y und ⟶z auf ⟶x’,  ⟶y’ und ⟶z’ abbildet. Wählt man willkürlich beliebige Bild- und Urbildpunkte, so erhält man in der Regel eine Verkettung verschiedener affiner Abbildungen.

Ein Fixpunkt P ist ein Punkt, der bei Anwendung einer affinen Abbildung invariant (unverändert) bleibt, d.h. dass f(⟶p) = ⟶p gilt. Fixpunkte lassen sich mit Hilfe der Formeln berechnen. (a,  b,  c,  d sind die Elemente der Abbildungsmatrix und e,  f die Komponenten des Translationsvektors.) [M]  [M] [Peit92] S. 283

Je nach ihren Eigenschaften lassen sich affine Abbildungen in folgende Gruppen einteilen: [N]  [N] Im Folgenden aus [Gruh06] S. 21

Eine Kontraktion ist eine besondere Art von (affinen) Abbildungen. [O]  [O] Im Folgenden aus [Barn95] S. 84f. Eine unendliche Anwendung dieser bewirkt, dass ein beliebiger metrischer Raum X auf einen einzigen Punkt zusammengezogen wird. Dieser Punkt ist zugleich der einzige Fixpunkt dieser (affinen) Abbildung. [P]  [P] Dies besagt der sog. Fixpunktsatz von Banach, vgl. auch [Peit92] S. 317ff. Die Kontraktion verursacht demnach eine Stauchung aller Mengen, die in dem Raum eingebettet sind. Für eine Kontraktion w: X → X gilt folglich Dabei wird s als Kontraktionsfaktor bezeichnet. Er gibt an, wie “stark” der Raum gestaucht wird. Ob eine Abbildung eine Kontraktion ist, hängt offensichtlich davon ab, bezüglich welcher Metrik d man sie betrachtet. Beispielsweise gibt es Abbildungen, die bezüglich der Euklidischen Metrik Kontraktionen sind, bezüglich der Gittermetrik aber nicht.

Dimension ist ein zentraler Begriff in der fraktalen Geometrie, wo er als Maß für die “Gebrochenheit” von Objekten dient. [Q]  [Q] Im Folgenden aus [Peit92] S. 128ff.; [WP2]; [WP3] Um dies verstehen zu können, muss zunächst geklärt werden, was in der “klassischen” Geometrie darunter verstanden wird.
Prinzipiell gibt die einbettende Dimension eines Vektorraumes an, wie viele Ausdehnungen (oder Freiheitsgrade) dieser besitzt. Diese ist gegeben durch die Anzahl der Koordinaten des Vektors, so hat ein Vektor des Raumes ℝ² zwei Koordinaten ⟶x = ⎛⎜⎝ x₁   x₂ ⎞⎟⎠. Dementsprechend hat der Raum ℝ³ die Dimension drei. [R]  [R] Hier gibt ebenfalls der Exponent über dem “ℝ” die Dimension an. Dimensionen kann man aber nicht nur für Räume, sondern auch für darin eingebettete Objekte, die dann als Teilmenge des Raumes bezeichnet werden, bestimmen. Befindet sich z.B. eine Gerade in der Ebene, so hat diese die Dimension 1, da sie nur eine Ausdehnung besitzt (sie ist unendlich lang, aber auch unendlich dünn.). Ein Punkt dagegen hat die Dimension 0.

Um die Dimension einer Teilmenge genau zu bestimmen, wurde die sog. topologische Dimension eingeführt. [S]  [S] Im Folgenden aus [Peit92] S. 130ff. Sie entspricht der “intuitiven” Dimension, die man einer Teilmenge anschaulich zuordnen kann. Zunächst kläre ich grob, was überhaupt unter “Topologie” verstanden wird: Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Objekten befasst, die sich in einem “gummiartigen” Raum befinden, d.h., dass diese durch bestimmte Abbildungen beliebig transformiert (“verzerrt”) werden können. Diese Abbildungen werden als Homöomorphismen bezeichnet. Die “Verzerrungen”, die sie beschreiben, sind jedoch nicht beliebig, sondern lassen Löcher und Verbindungsstellen invariant. So gibt es Homöomorphismen, die eine Gerade in eine gezackte bzw. “zerknüllte” Linie transformieren. Solche Objekte, die durch Homöomorphismen ineinander übergehen können, bezeichnet man als homöomorph oder topologisch äquivalent. Demnach sind z.B. auch eine glatte Kugel und ein “kartoffelartiges” Gebilde homöomorph. Nicht homöomorph wäre dagegen die Kugel mit einem Torus, da dieser ein Loch enthält.
Um nun die Dimensionen von Teilmengen zu bestimmen, hat der französische Mathematiker Henri Lebesgue folgende sehr anschauliche Definition [T]  [T] Diese Definition wird daher als Lebesgue’sche Überdeckungsdimension bezeichnet. auf Basis der Topologie entwickelt: [U]  [U] Im Folgenden aus [Peit92] S. 135f.; [WP4]
Es soll versucht werden, die gegebene Menge durch kleine Kugeln oder Kreisscheiben derart komplett zu überdecken, dass die Anzahl an Überschneidungen n zwischen diesen minimal wird. Die Dimension der Menge beträgt dann n − 1. Ein Beispiel: Die Dimension eines Punktes ist 0, weil er bereits durch eine Kreisscheibe beliebigen Radius überdeckt werden kann. Ebenso verfährt man mit Geraden. Hier ist die minimale Überschneidung zwei, daher ist sie eindimensional. Diese Dimension ergibt sich aber folglich auch für z.B. für eine Kurve oder den Rand einer Acht. All diese Objekte sind demnach topologisch betrachtet eindimensional.

Nachdem die mathematischen Grundlagen behandelt wurden, kann ich nun beginnen, mich dem zentralen Thema dieser Arbeit zuzuwenden. Zunächst ist aber zu klären, was überhaupt unter einem Fraktal zu verstehen ist.

Bei Fraktalen handelt es sich um komplexe geometrische Figuren, deren Struktur stark “gebrochen” (lat. “fractus”, daher der Name “Fraktal”) bzw. “zerklüftet” erscheint und die einen hohen Grad an Skaleninvarianz aufweisen. [V]  [V] Im Folgenden aus [Mand91] S. 27ff., S. 31f., S. 394; [WP5]; [Reit06] S.13f. Dies bedeutet, dass bei Vergrößerung eines Ausschnitts eines Fraktales stets immer feinere Strukturen erkennbar sind, egal wie stark der Vergrößerungsfaktor ist, man sagt dazu auch, das Fraktal habe “Details auf allen Stufen”. Diese Eigenschaft unterscheidet Fraktale von den Objekten der “klassischen” Geometrie, wo bei hinreichender Vergrößerung, z.B. des Randes eines Kreises, eine Gerade erkennbar ist, was in Übrigen die Differenzierbarkeit dieser Objekte, also die Bestimmung der Steigung in einem Punkt, z.B. von Funktionsgraphen, überhaupt ermöglicht. [W]  [W] Solche Objekte werden daher als glatt bezeichnet, vgl. [Reit06] S. 52 Die skaleninvarianten Fraktale dagegen lassen die Bestimmung der Steigung in keinem ihrer Punkte zu.
Dies ist die grundlegende Eigenschaft, die alle Fraktale verbindet. Darüber hinaus gibt es einige spezifische Eigenschaften, auf die ich weiter unten eingehen werde. Zunächst stelle ich einige der sog. klassische Fraktale vor. Sie wurden Ende des 19. bis Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt und von den Mathematikern als “mathematische Monster” bezeichnet, weil sie sich grundsätzlich von den bisherigen Objekten der Geometrie unterschieden. [X]  [X] [Peit92] S. 81ff.
Formal handelt es sich bei Fraktalen um kompakte [Y]  [Y] Kompaktheit bedeutet, dass eine Menge X innerhalb eines Kreises im Raum liegt, d.h. dass sie “nicht unendlich ausgedehnt” (formal: beschränkt) ist und dass der Grenzwert einer konvergenten Folge von Punkten der Menge ebenfalls ein Punkt in X ist (formal: abgeschlossen). (vgl. auch [Peit92] S. 320 und [WP6]) Teilmengen eines vollständigen [Z]  [Z] Ein metrischer Raum X heißt vollständig, wenn der Grenzwert jeder Punktfolge, deren Punkte immer dichter liegen, d.h. der Abstand zwischen diesen immer geringer wird, ebenfalls Punkt des Raumes ist. (Eine solche Folge bezeichnet man als Cauchy-Folge.) (vgl. auch [Peit92] S. 317) metrischen Raumes. Der Raum, auf den die Metrik definiert ist, kann z.B. ℝ, ℝ² oder ℝ³ sein. Im Folgenden werde ich mich aber auf den Vektorraum ℝ² beschränken.

Die Koch-Kurve (nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch) ist eines der bekanntesten Fraktale überhaupt. [A]  [A] Im Folgenden aus [Peit92] S. 107ff. Von Koch stellte sie als Kurve vor, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, da sie praktisch nur aus “Ecken” besteht, die keine eindeutige Tangente zulassen.
Zunächst erläutere ich die Konstruktion dieser Kurve: Die Koch-Kurve entsteht, indem man einen sog. Initiator, d.h. ein Ausgangsobjekt, in diesem Fall eine Strecke der Länge 1, drittelt und anschließend den mittleren Teil durch zwei Kopien dieses Drittels ersetzt, sodass diese in einem Winkel von α = 60 ° zueinander und zur Initiatorstrecke stehen. Diesen Schritt, der als Generator bezeichnet wird, wendet man anschließend auf alle vier entstandenen Teilstrecken an, und wiederholt (iteriert) dies (theoretisch) unendlich oft. Das Fraktal, das bei diesem Prozess entsteht, hat besondere Eigenschaften, auf die ich im Folgenden genauer eingehen werde. Es folgt nun ein Bild, das diesen Konstruktionsprozess verdeutlichen soll. Wie man leicht erkennen kann, erhöht sich die Anzahl an Ecken pro Iterationsschritt n um 4^n − 1, sodass die Grenzkurve, wie bereits oben erwähnt, aus unendlich vielen Ecken - und zwar ausschließlich aus Ecken - zusammengesetzt ist, was nur daher kein Paradoxon ist, da der Konstruktionsprozess unendlich oft iteriert wird. Diese bemerkenswerte Eigenschaft macht sie daher an keiner Stelle differenzierbar.

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass ein Objekt aus verkleinerten Kopien seines selbst zusammengesetzt ist, die durch die Anwendung einer kontrahierenden Ähnlichkeitsabbildung entstanden sind. Viele (aber längst nicht alle) Fraktale sind selbstähnlich, und die Koch-Kurve ist ein typisches Beispiel dafür. Betrachtet man sie genau, so erkennt man leicht, dass sie aus vier auf (1)/(3) skalierten Teilen aufgebaut ist, von denen der zweite um -60° und der dritte Teil um +60° rotiert worden ist. Nimmt man nun einen dieser Teile und vergrößert ihn auf das Dreifache, so erhält man wiederum die gesamte Kurve. Dabei setzt sich die Selbstähnlichkeit bei jeder beliebiger Vergrößerungsstufe fort, die Skaleninvarianz der Koch-Kurve ist demnach eine direkte Folge ihrer Selbstähnlichkeit. Es ist jedoch zu beachten, dass kein Konstruktionsschritt der Kurve selbstähnlich bzw. skaleninvariant ist. Theoretisch wäre es nämlich möglich, diesen derart stark zu vergrößern, sodass die Details verschwinden würden und man die eckige Struktur erkennen könnte. Die Selbstähnlichkeit bezieht sich daher nur auf das Grenzobjekt, das nach (theoretisch) unendlich vielen Iterationen entsteht. [C]  [C] [Peit92] S. 180

Nun möchte ich zeigen, wie man die Länge der Koch-Kurve bestimmen kann. [D]  [D] Vgl. im Folgenden [Peit92] S. 113 Wie bereits erwähnt, hat die Initiatorstrecke die Länge 1. Da der Generator diese durch a₁ = 4 Teilstrecken der Länge l₁ = (1)/(3) ersetzt, beträgt die Länge der Kurve L während der ersten Iteration L₁ = (4)/(3). Bei der zweiten Iteration verkürzt sich die Länge der Teilstrecken auf l₂ = (1)/(3)⋅(1)/(3) = ((1)/(3))² , deren Anzahl steigt jedoch auf a₂ = 4⋅4 = 4² und deren Gesamtlänge lautet demnach L₂ = (4²)/(3²). Für die dritte Iteration gilt l₃ = ((1)/(3))³ , a₃ = 4³ und L₃ = (4³)/(3³). Daraus lässt sich folgern, dass für jeden beliebigen Teilschritt n l_n = (1)/(3)ⁿ , a_n = 4ⁿ und L_n = ((4)/(3))ⁿgilt, d.h. dass die Gesamtlänge pro Iteration um (3)/(4) zunimmt. Da das Konstruktionsverfahren unendlich oft wiederholt wird, ergibt sich für die Koch-Kurve eine Länge von Die Koch-Kurve hat also eine unendliche Länge! Zwar belegt sie eine endliche Fläche, [E]  [E] Weiter unten werde ich diese exakt bestimmen. da man sie ja auf einem Blatt Papier darstellen kann (wenn auch nur ungenügend), ist sie dennoch von einer gänzlich anderen Natur wie andere bekannte Objekte wie z.B. der Kreis, der nachweislich einen endlichen Umfang und eine endliche Fläche besitzt. Dies ist der Grund, warum die Koch-Kurve und die anderen klassischen Fraktale als “Monster” bezeichnet wurden: Sie entsprachen nun mal nicht den gängigen Vorstellungen geometrischer Objekte.

Bei der Cesàro-Kurve handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Koch-Kurve. [F]  [F] Im Folgenden aus [Mand91] S. 76f.; [Reit06] S. 75ff. Zwar bleibt der Initiator die Einheitsstrecke, jedoch ändert sich der Generator dahin gehend, dass der Basiswinkel des von der Kurve umschlossenen gleichschenkligen Dreiecks, der bei der Koch-Kurve θ = 60 ° beträgt, variabel im Bereich von θ = 0 ° bis θ = 90 ° wird. Dadurch ändert sich folglich der Verkleinerungsfaktor in Abhängigkeit von θ. Im Folgenden zeige ich eine Zusammenstellung von verschiedenen Cesàro-Kurven im Bereich von θ = 0 ° bis θ = 90 ° in Schritten von 10°. Für θ = 0 ° ergibt sich die nicht-fraktale Einheitsstrecke, da es keine Längenzunahme wie bei den andren Fällen gibt. Ansonsten sind alle Cesàro-Kurven wie die Koch-Kurve unendlich lang, der Zuwachs an Länge pro Iteration ist aber offensichtlich von θ abhängig. Da es sich bei θ um einen Parameter handelt, bilden alle Cesàro-Kurven eine sog. Kurvenschar. Man erkennt auf den ersten Blick, dass die Kurve mit zunehmendem θ immer mehr “rauer” erscheint und immer mehr Fläche “umschließt”, bis sie schließlich bei θ = 90 ° ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Fläche von (1)/(4) komplett ausfüllt. Dies scheint zunächst paradox, da es sich ja um eine Kurve, also ein Objekt mit der topologischen Dimension 1 handelt, das aber eine Fläche, also ein zweidimensionales Objekt, bildet.

Wie es nun scheint, reicht die intuitive Vorstellung, die Cesàro-Kurve als eindimensional zu betrachten, nicht aus. Für zunehmende Werte θ von scheint sie immer mehr “zerklüftet” zu sein und sich immer mehr einer Fläche anzunähern, also praktisch von “eindimensional zu zweidimensional” zu wechseln. Wie kann man nun ein solches Fraktal charakterisieren? Wenn man die Länge der Kurve u mit einer Genauigkeit von (1)/(s) misst, [H]  [H] Beispielsweise durch Vermessen der Kurve mit einem Zirkel mit der Weite s. ergibt sich ein Potenzgesetz der Form u ∝ ((1)/(s))^D, jedoch strebt die Länge bei zunehmender Genauigkeit gegen unendlich. Interessant ist aber, dass dabei der Exponent D stets konstant bleibt, wodurch man D + 1 als Dimension der Kurve annehmen kann. [I]  [I] [Peit92] S. 232ff. Beispielsweise erhält man für die Koch-Kurve D ≈ 0, 26. Nur ergibt sich dadurch jedoch ein Problem: Bisher waren nur Zahlen aus ℕ als Dimensionswerte erlaubt. Dies führte den französisch-polnischen Mathematiker Benoît Mandelbrot zu einem radikalen Umändern des Dimensionsbegriffs für derartige Objekte: Er erweiterte den Bereich auf ℝ₊, d.h., dass Dimensionen auch gebrochene Werte annehmen können (eine solche Dimension bezeichnet man daher als fraktale Dimension D). Dazu verwendete Mandelbrot die sog. Hausdorff-Besicovitch-Dimension D_H, die bereits zuvor von dem deutschen Mathematiker Felix Hausdorff entwickelt und von Abram S. Besicovitch verfeinert wurde. Sie wurde ursprünglich nur für “klassische” Objekte angewandt, doch Mandelbrot erkannte, dass sie sich ideal zur Charakterisierung von Fraktalen eignet. Leider ist die Definition der Hausdorff-Besicovitch-Dimension derart komplex, dass sie den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde. Stattdessen kann ich mich auf zwei andere Definitionen von fraktalen Dimensionen beschränken, die sich direkt aus der Hausdorff-Besicovitch-Dimension herleiten lassen: zum Einen die Selbstähnlichkeitsdimension D_S und zum Anderen die Box-Dimension D_B, die ich im nächsten Abschnitt behandeln werde.
Die Selbstähnlichkeitsdimension setzt voraus - wie bereits der Name vermuten lässt -, dass das zu untersuchende Objekt (es muss nicht unbedingt ein Fraktal sein) selbstähnlich ist. [J]  [J] Im Folgenden aus [Peit92] S. 249 Sie lässt sich daher aus den bekannten Objekten, deren Dimension man intuitiv kennt, auf einfachste Weise herleiten. Als Beispiel wird eine Strecke der Länge 1 genommen. Sie ist selbstähnlich, da sie aus verkleinerten Kopien ihrer selbst zusammengesetzt werden kann. Dasselbe gilt für ein Quadrat und ebenso für einen Würfel, deren Dimensionen allesamt bereits bekannt sind. Die oben abgebildete Einheitsstrecke wurde in vier gleich lange Teile unterteilt, dasselbe gilt für die Seiten des Einheitsquadrates und des Einheitswürfels, d.h. dass der Skalierungsfaktor s jeweils (1)/(4) lautet. Nun zähle man die Anzahl der Teilobjekte aus: Die Strecke besteht aus n = 4, das Quadrat aus n = 4² = 16 und der Würfel aus n = 4³ = 64 Teilobjekten. Wie unschwer zu erkennen ist, ergibt der Exponent, ich nenne ihn D, jeweils die Dimension unserer Probeobjekte an. Daher kann folgende Behauptung aufgestellt werden: Die Anzahl der Teilobjekte ist also der Kehrwert des Skalierungsfaktors potenziert mit der Dimension des jeweiligen Probeobjektes. Diese Gleichung lässt sich durch Logarithmierung nach D umstellen und man erhält Dies ist die Definition der Selbstähnlichkeitsdimenision D_s. Sie kann auf alle selbstähnlichen Fraktale angewendet werden. Nun wird versucht, die Dimension der Cesàro-Kurve zu berechnen. Dazu wird zunächst der Fall θ = 60 ° genommen, also die Koch-Kurve, deren Skalierungsfaktor bereits bekannt ist; er lautet s = (1)/(3). Genauso ist bereits bekannt, dass die Koch-Kurve, wie auch jede Cesàro-Kurve, aus vier Kopien ihrer selbst zusammengesetzt ist. Die Selbstähnlichkeitsdimenision beträgt daher D_s = (log 4)/(log ((1)/(3)^− 1)) = (2⋅log 2)/(log 3) ≈ 1, 262. Diesen Wert kann man als Maß für die “Gebrochenheit”, d.h. der komplexen Struktur, die das Fraktal bildet, ansehen.
Nun versuche ich, eine allgemeine Dimensionsgleichung für alle Cesàro-Kurven aufzustellen. Dazu muss die Teilstreckenskalierung anhand des Basiswinkels θ des gleichschenkligen Dreiecks bestimmt werden. [K]  [K] Vgl. im Folgenden [Reit06] S. 75f. Wie der obigen Abbildung leicht zu entnehmen ist, entspricht der Skalierungsfaktor s für die Länge der Teilstrecken r dem Verhältnis der Grundstrecke 2r + x und r. In Abhängigkeit von θ ergibt sich folgende Rechnung Nun kann man die fraktale Dimension einer beliebigen Cesàro-Kurve bestimmen Beispielsweise erhält man für den Fall θ = 50 ° einen Wert von D ≈1, 165. Für die Grenzfälle θ = 0 ° und θ = 90 ° erhält man D = 1 bzw. D = 2. Die fraktale Dimension der Cesàro-Kurve steigt also mit zunehmendem θ und nimmt Werte zwischen 1 und 2 an. Die topologisch betrachtet eindimensionale Kurve füllt bei θ = 90 ° schließlich sogar eine Fläche aus, bildet also ein zweidimensionales Objekt. Daher bezeichnet man die Cesàro-Kurve in diesem Fall auch als Cesàro-Füllkurve, da die sie eine Fläche gänzlich ausfüllt. (Es gibt weitere Fraktale, die ein sehr ähnliches Verhalten zeigen.) Zu beachten ist jedoch, dass die Kurve stets topologisch eindimensional bleibt, und das Bilden einer Fläche nur aus deren besonderen Verhalten resultiert, da die Kurve selbst nie zu einer Fläche wird, sondern theoretisch unendlich dünn bleibt. Ebenso interessant ist der Fall θ = 0 °, bei dem die Kurve die Einheitsstrecke bildet und somit kein Fraktal ist (da keine Skaleninvarianz vorliegt).
Die Cesàro-Kurve ist daher ein ideales Beispiel für die Auswirkungen der Änderung der fraktalen Dimension. Mit Hilfe dieser neuen Definition kann man beliebigen selbstähnlichen Objekten eine bestimmte Dimension zuordnen, die man als ein Maß für die “Zerklüftetheit” bzw. “Rauheit” sowie Komplexität des Fraktales auffassen kann. Natürlich ist eine Dimension, die Werte aus ℝ annehmen kann, nicht besonders intuitiv, jedoch reicht die Betrachtung der topologischen Dimension nicht aus, um ein Fraktal zu beschreiben, da es sich anders verhält als die Objekte der “klassischen Geometrie”. Jedoch kann auch die Dimension eines Fraktales durchaus ganzzahlig sein, wie man leicht am Beispiel der Cesàro-Kurve θ = 90 ° feststellen kann. Eines haben aber alle fraktalen Cesàro-Kurven gemeinsam: Ihre fraktale Dimension D ist stets größer als ihre topologische Dimension D_T, d.h., dass gilt. Diese Definition für Fraktale wurde ebenfalls von Mandelbrot eingeführt und lässt sich auf fast alle fraktalen Mengen anwenden. Zwar gibt es wenige Ausnahmen, die sogar selbst Mandelbrot bedauert, jedoch hilft diese Definition, die allermeisten Fraktale, auf die diese zutrifft, von anderen Mengen abzugrenzen. Fakt ist, dass ein Objekt mit einer nicht ganzzahligen Dimension immer ein Fraktal ist. Im Folgenden werden ausschließlich Fraktale behandelt, auf die Mandelbrots Definition zutrifft. [L]  [L] [Mand91] S. 27

Um noch einmal zu verdeutlichen, dass eine unendlich lange Kurve eine endliche Fläche einschließen kann, möchte ich an dieser Stelle die exakte Fläche berechnen, die die Cesàro-Kurve mit der Einheitsstrecke, also ihrem Initiator, einschließt. Dazu ist es zunächst notwendig, die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks, das bei der ersten Iteration entsteht, anhand des Basiswinkels θ zu bestimmen. Für die Fläche dieses Dreiecks A_Δ gilt in Abhängigkeit von θ: Interessant ist, dass diese Formel für θ = 60 ° und variablem c die bekannte Flächenformel für das gleichseitige Dreieck ergibt:

Im Folgenden werde ich kurz einige weitere klassische Fraktale vorstellen. Ein tief gehendes Verständnis der ursprüngliche Gedanken der Mathematiker, die diese entwickelten, ist hier aus Platzgründen aber nicht möglich. Dennoch werden weitere “Anschauungsobjekte” benötigt, insbesondere im Hinblick auf den folgenden Abschnitt.

Das Sierpiński-Dreieck wurde 1916 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński eingeführt. Es wird konstruiert, indem ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1, dem Initiator, in der Mitte ein weiteres Dreieck, deren Eckpunkte die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden sind, entfernt wird (Generator). Es verbleiben drei kongruente und dem Initiatordreieck ähnliche Dreiecke. Dieser Algorithmus wird unendlich oft auf die jeweils verbleibenden Dreiecke angewendet. Das bei diesem Verfahren entstandene Fraktal hat keine Fläche, da es sich um einen unendlichen Entfernungsprozess handelt, [Q]  [Q] Der Initiator hat eine Fläche von a = (√(3))/(4). Pro Iteration n werden davon (3ⁿ)/(4^n + 1)⋅a Fläche entfernt. Insgesamt ergibt sich für das Fraktal eine entfernte Fläche von ∑^∞_n = 0⎛⎝(3ⁿ)/(4^n + 1)⋅a⎞⎠ = a ,  d.h. dass am Ende keine Fläche mehr vorhanden ist, da die entfernte Fläche der Anfangsfläche entspricht. und ist ebenso wie die Koch-Kurve selbstähnlich: Es ist aus drei auf (1)/(2) skalierten verkleinerten Kopien aufgebaut. Daher kann man auch hier die fraktale Dimension mit Hilfe der Selbstähnlichkeitsdimension bestimmen: Das Sierpiński-Dreieck ist also ein Gebilde, dass zwar keine Fläche hat, sich jedoch mehr wie ein zwei- als ein eindimensionales Objekt verhält.

Dieses Fraktal wurde ebenfalls von Wacław Sierpiński eingeführt. Es beruht ebenso wie sein Dreieck auf einem unendlichen Entfernungsprozess. Hierbei ist jedoch nicht ein gleichseitiges Dreieck, sondern ein Quadrat der Seitenlänge 1 der Initiator. Anschließend wird dieses in neun Teildreiecke geteilt, wovon das mittlere entfernt wird, wobei acht auf (1)/(3) skalierte, kongruente und zu Urspungsquadrat ähnliche Teilquadrate übrig bleiben (Generator). Auch hier wird der Generator auf alle diese verbliebenen Quadrate angewendet. Zwar scheinen beide Fraktale einem sehr ähnlichen Konstruktionsprozess zu entstammen, so haben sie jedoch komplett unterschiedliche fraktale Dimensionen. Die Selbstähnlichkeitsdimension des Sierpiński-Teppichs beträgt und zeigt, dass dieses Fraktal dem Verhalten nach einer Fläche deutlich näher ist als das Sierpiński-Dreieck und von einer weitaus größeren Komplexität ist.

In diesem Abschnitt stelle ich die sog. iterierten Funktionensysteme (IFS) vor. Es handelt sich hierbei um ein Verfahren zur Generierung fraktaler Bilder. Anhand der Theorie, die im Folgenden vorgestellt wird, habe ich als praktisches Produkt ein Computerprogramm entwickelt, das dieses Verfahren implementiert.

Iterierte Funktionensysteme lassen sich gut mit Hilfe der folgenden Metapher einer sog. Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine (MVKM) erläutern: [S]  [S] Im Folgenden aus [Peit92] S. 30, S. 277ff. Man denke sich eine MVKM als ein Gerät, das aus n Linsensystemen zusammengesetzt ist, wobei jedes dieser Linsensysteme Bilder unterschiedlich stark kontrahiert und unabhängig ist, d.h., die Eingabe, die das System erhält, nicht von den anderen beeinflusst wird. Dabei kann die Anordnung dieser Systeme innerhalb der Maschine beliebig sein. Nimmt man nun ein beliebiges Anfangsbild A₀, so wird dieses kopiert und durch die Linsensysteme geschickt. Diese erzeugen jeweils eine verkleinerte Ausgabe des Ursprungsbildes. Alle diese Ausgaben werden nun zu einem einzigen Ausgabe-Bild zusammengesetzt, d.h., die Ausgabe ist eine “Collage” der jeweiligen Linsenausgaben entsprechend deren Anordnung. Nun befindet sich die Maschine in einer Rückkoppelungsschleife, [T]  [T] Ein anderes Beispiel für ein Rückkoppelungssystem wäre z.B. das Filmen des Fernsehbildes mit einer an denselben Fernseher angeschlossenen Kamera. Dabei kommt eine Art “Bild-in-Bild”-Effekt zustande. d.h. dass ihre Ausgabe ihr wieder als Eingabe zugeführt wird. Führt man diese Rückkoppelung unendlich oft aus, so erhält man eine Ausgabe A_∞, die unabhängig von dem Anfangsbild A ist. Ausschließlich die Anordnung der Linsensysteme ist für das Aussehen dieser als Attraktor der MVKM bezeichnete Ausgabe verantwortlich. Der Attraktor ist ein Zustand, gegen den das Rückkoppelungssystem immer streben wird. Nimmt man als Anfangsbild den Attraktor, so kommt es zu keiner Veränderung der Ausgabe. Es folgt eine Abbildung, die den Grundaufbau einer MVKM darstellt. Eine MVKM ist eine Rückkoppelungsmaschine: Links ist die sog. Eingabeeinheit, in diesem Fall ein beliebiges Bild. Die Eingabe wird an die Prozessoreinheit übergeben, wo jede Kopie des Eingabebildes entsprechend dem Linsensystem verändert [U]  [U] Um zu verdeutlichen, dass jedes System unterschiedlich sein kann, verwende ich hier verschiedene Grautöne. Des weiteren ist die hier verwendete Anzahl von drei Systemen nur ein Beispiel. und zu einer Collage zusammengesetzt wird. Anschließend wird das Bild der Ausgabeeinheit übergeben. Diese wiederum übergibt die Ausgabe an die Eingabeeinheit über die sog. Rückkoppelungsleitung. Wie in der obigen Abbildung leicht zu erkennen ist, lässt diese spezielle MVKM ihren Attraktor unverändert. Der Attraktor der obigen MVKM ist in diesem Fall übrigens das Sierpiński-Dreieck! Dies ist kein Zufall, denn MVKMs haben in der Regel Fraktale als Attraktoren. [V]  [V] Natürlich ist das Sierpiński-Dreieck nur der Attraktor dieser spezifischen MVKM.
Die MVKM ist daher eine geeignete Metapher für das Konzept der iterierten Funktionensysteme, das durch den Mathematiker John Hutchinson im Jahr 1981 entwickelt wurde.

Nun komme ich zur mathematischen Beschreibung von IFS: [W]  [W] Im Folgenden weitgehend aus [Peit92] S. 284ff.; [Barn95] S. 92
Ein IFS ist gegeben durch eine Menge F von N ∈ ℕ Kontraktionen w_n eines vollständigen metrischen Raumes X auf sich selbst, d. h. Bild- und Urbildpunkte der Abbildungen liegen im selben Raum: [X]  [X] [WP7] Diese Kontraktionen stellen metaphorisch die Linsensysteme der MVKM dar. Es kann sich dabei um eine beliebige Kontraktion handeln, ich beschränke mich jedoch ausschließlich auf affine Abbildungen, theoretisch wären aber genauso auch andere Arten von Abbildungen möglich. Es wurde gezeigt, dass die MVKM alle Abbilder der Linsensysteme zu einem Ausgabebild zusammengefügt hat. Mathematisch betrachtet handelt es sich um die Abbildung W(A) durch Vereinigung der jeweiligen Bildmengen, die durch eine der n Abbildungen auf die Ausgangsmenge A erzeugt wurden, formal W(A) wird als Hutchinson-Operator bezeichnet. Er kann als die Prozessoreinheit der MVKM angesehen werden. Der Hutchinson-Operator wird nun auf eine beliebige Anfangsmenge A₀ angewendet, wobei die erste Ausgabe der MVKM entsteht: A₁ = W(A₀). Da es sich aber um ein Rückkoppelungssystem handelt, kann die Ausführung der MVKM als Iteration des Hutchinson-Operators angesehen werden: Die Ausgabe des Operators wird ihm also wieder als Eingabe zugeführt, genauso wie bei der MVKM. Iteriert man dieses System nun unendlich oft, so wird es stets immer gegen den stabilen Zustand, den Attraktor A_∞ des IFS, streben. Dabei gilt wie erläutert d.h. dass der Hutchinson-Operator den Attraktor unverändert (invariant) lässt. Daher wird A_∞ auch als Fixpunkt des IFS bezeichnet. Zu beachten ist, dass ein IFS nur einen einzigen Attraktor haben kann, und dieser ist in der Regel fraktal. Diese Eigenschaft kann genutzt werden, um durch eine gegebene Anzahl von affinen Abbildungen ein Fraktal kodieren und generieren zu können. Das IFS strebt deshalb immer zu dem Attraktor, weil die verwendeten Abbildungen Kontraktionen sind, demnach auch der Hutchinson-Operator selbst. Dadurch lässt sich das Banachsche Fixpunktprinzip aufgreifen: Das System wird immer einen eindeutigen Fixpunkt haben. [Y]  [Y] [Peit92] S. 314

Im Folgenden erläutere ich die Kodierung und Generierung von Fraktalen durch IFS. Der Attraktor dieser IFS wird dann stets das gegebene Fraktal sein. Da viele Fraktale selbstähnlich sind, lassen sie sich durch die Ähnlichkeitsabbildungen, die ihr Ganzes auf ihre Teile abbilden, kodieren. Als Beispiel nehme ich das Sierpiński-Dreieck. Es ist wie bekannt aus drei selbstähnlichen Teilen aufgebaut, daher kann es durch ein IFS mit den folgenden affinen Abbildungen dargestellt werden:

Bisher wurden ausschließlich die klassischen Fraktale behandelt, die zwar eine komplexe, aber nicht Natur-ähnliche Form haben. Jedoch gibt es nicht nur in der Mathematik skaleninvariante und selbstaffine Strukturen, sondern auch in der Natur. Natürlich ist dort der Grad an Skaleninvarianz begrenzt, dennoch ist z.B. ein Farnblatt aus vielen Unterblättern aufgebaut, die dem ganzen Blatt recht ähnlich sehen. Weitere skaleninvariante Systeme wären beispielsweise auch eine Wolke oder ein Baum. Der Begründer der modernen Fraktalgeometrie Mandelbrot erkannte, dass fast alle natürlichen Strukturen fraktale Muster zeigen. Solche Systeme werden daher als natürliche Fraktale bezeichnet. Am Beispiel der IFS möchte ich im Folgenden zeigen, wie man natürliche Bilder in einem gewissen Grad als ein Fraktal darstellen (kodieren) kann. Der Mathematiker Michael Barnsley entwickelte eine Methode, mit der man viele vorhandene Bilder in ein IFS “umwandeln” kann. Dafür entwickelte er den sog. Collagen-Satz. [E]  [E] Im Folgenden aus [Barn95] S. 108f. Dieser besagt, dass man ein beliebiges Bild derart mit affinen Kopien seines selbst überdecken soll, sodass alle diese Kopien eine Collage des Ursprungsbildes bilden. Die affinen Abbildungen, die das Urbild auf die Kopien abbilden, bilden dann den Hutchinson-Operator des IFS. Dieses IFS wird nun als Attraktor in etwa das Bild erzeugen, das man als Vorlage verwendet hat. Natürlich lässt sich dieses interessante Verfahren nur auf solche Bilder anwenden, die bereits eine annähernd selbstaffine Struktur besitzen. Um die Methode auf eine sehr einfache Art durchzuführen, bietet es sich an, ein Computerprogramm zu verwenden, das ein gegebenes Bild einliest und daraus Kopien erstellt, die man auf dem Bildschirm gemäß des Collagen-Satzes anordnen kann.
Barnsley wandte sein Verfahren u.a. auch auf einen Farn an. Ergebnis ist das folgende IFS mit nur vier affinen Abbildungen (das als Barnsley-Farn bezeichnet wird): [F]  [F] Vgl. im Folgenden [Peit92] S. 306

Um das Dekodierungs-Problem zu lösen, wurde der sog. Chaosspiel-Algorithmus eingeführt. Es handelt sich dabei um eine erstaunliche Methode, um performant eine Näherung des Attraktors eines IFS generieren zu können. Diese neue Methode lässt sich metaphorisch durch eine sog. Glücksrad-Verkleinerungs-Kopier-Maschine (GVKM) erläutern: Diese neue Art von Kopiermaschine arbeitet nicht mehr mit einem Anfangsbild, sondern einem einzigen Anfangspunkt. Sie wählt im Gegensatz zur MVKM ein Linsensystem zufällig mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p_n aus und wendet es auf diesen Punkt an. Dabei erhält man einen neuen Punkt, den die Maschine auf ein Papier zeichnet. Anschließend wird dieses Verfahren auf diesen neu erhaltenen Punkt wiederholt angewandt. Die GVKM ist wie die MVKM ein Rückkoppelungssystem: Der Anfangspunkt z_n wird durch eine zufällig mit der Wahrscheinlichkeit p_n ausgewählte affine Abbildung w_n auf den nächsten Punkt z_n + 1 abgebildet. Anschließend wird dieser der Maschine wieder als Eingabe zugeführt. Nach vielen Tausenden Iterationen bildet sich der Attraktor des entsprechenden IFS aus.
Dieses Verfahren unterscheidet sich grundlegend vom bisherigen deterministischen Algorithmus, der bei gleichen Anfangsbedingungen stets dasselbe Ergebnis liefert. Das Chaosspiel erzeugt dagegen eine zufällige Folge von Punkten, die aber dennoch gegen den Attraktor strebt. Diese Methode wird in der Mathematik als zufällig iteriertes Funktionensystem bezeichnet und ist eine der geeignetsten Methoden, Attraktoren von IFS zu erzeugen. Die Erklärung, warum die Punktfolge gegen den Attraktor konvergiert, würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Es sei aber zu erwähnen, dass dies nur aufgrund der kontrahierenden Eigenschaften der affinen Abbildungen möglich ist. [H]  [H] [Peit92] S. 363
Algorithmisch wendet man das Chaosspiel an, indem ein beliebiger Punkt z₀ als Startpunkt gewählt wird. Am geeignetsten ist jedoch ein Fixpunkt der verwendeten affinen Abbildungen, da es sonst zu Punkten kommt, die nicht zum Attraktor gehören, weil die entstehende Punktfolge nicht sofort konvergieren würde. Anschließend wird mit einer Zufallsfunktion eine Zahl zwischen 0 und 1 bestimmt. Um die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten zu beachten, wird geprüft, ob die Zufallszahl kleiner einer der vorher gewählten Wahrscheinlichkeiten ist, [I]  [I] Dabei wird eine Wahrscheinlichkeit p_n durch die Summe aller vorhergehenden Wahrscheinlichkeiten dargestellt, also p_n = P₁ + … + P_n, damit dieser Algorithmus funktioniert. z.B. wird die affine Abbildung w_n mit der Wahrscheinlichkeitsangabe p_n dann ausgewählt, wenn die Zufallszahl  < p_n ist. Nun wird w_n auf z₀ angewandt und der entstandene Punkt z_n + 1 = w_n(z_n) gespeichert bzw. gezeichnet. Anschließend wird diese Methode N ∈ ℕ mal iteriert. Nach etwa N = 100000 Iterationen erhält man eine sehr gute Näherung des Attraktors in performanter Zeit.
Nun wird versucht, diesen Algorithmus auf den Barnsley-Farn anzuwenden. Dazu verwende ich für alle affinen Abbildungen zunächst gleiche Wahrscheinlichkeiten (p = 0, 25) bei einer Iterationszahl von N = 100000. Wie unschwer zu erkennen ist, hat diese Methode nicht zu einem optimalen Ergebnis geführt. Um den Farn bei dieser Iterationszahl korrekt darzustellen, muss man die Wahrscheinlichkeiten, mit der die jeweiligen Abbildungen ausgewählt werden, anpassen. Dies bewirkt, dass die bisher wenig getroffenen Bereiche des Attraktors häufiger getroffen werden und dieser vollständig sichtbar wird. [J]  [J] [Peit92] S. 386ff. Dazu kann man sich als Faustregel merken: Die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten entspricht in etwa der der Fläche, die die Abbildparallelogramme (bei dem oben vorgestellten Verfahren) einnehmen. Nun können die Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, sie lauten in etwa p₁ = 0, 8; p₂ = 0, 1; p₃ = 0, 09  und p₄ = 0, 01. Es handelt sich jedoch nur um eine “Methode durch Ausprobieren”. Es gibt zwar eine mathematische Näherungslösung, diese ist jedoch zu aufwendig für einfache Experimente (eine optimale Lösung ist auch algorithmisch nicht zu erreichen). Startet man nun die GVKM, so erhält man eine eindrucksvolles Fraktal, das dem Naturvorbild sehr nahe kommt.

Zum Schluss möchte ich noch kurz erläutern, wie man bei IFS-Fraktalen die fraktale Dimension bestimmen kann. Da bei Weitem nicht alle selbstähnlich sind, kann nicht auf die Selbstähnlichkeitsdimension zurückgegriffen werden. Stattdessen wird die allgemeinere Box-Dimension D_B verwendet. Man erhält sie, indem man über das Bild des Attraktors ein Gitternetz einer beliebigen Maschenweite s₁ legt und alle N₁ Maschen bzw. Boxen auszählt, die vom Attraktor getroffen wurden. Anschließend verringert man die Maschenweite s₂ und zählt erneut alle vom Attraktor getroffenen Maschen N₂ aus. Die Box-Dimension beträgt dann Die Box-Dimension ist weniger exakt als die Selbstähnlichkeitsdimension, lässt sich jedoch besonders einfach algorithmisch berechnen, da das Maschenzählen dem Zählen von Pixeln einer Bitmapgrafik entspricht. Beispielsweise erhält man für den Farn dadurch eine fraktale Dimension von D_B ≈ 1, 81. Die Box-Dimension erlaubt es, den Komplexitätsgrad jedes beliebigen Attraktors zu bestimmen. Man geht sogar so weit, dass man sie auf natürliche Fraktale anwendet, z.B. auf Küstenlinien. Sie haben ein ähnliches Verhalten wie die Koch-Kurve, denn umso genauer man sie misst, desto länger wird ihre Gesamtlänge. [L]  [L] [Mand91] S. 41

Die IFS sind eine sehr mächtige Methode zur Kodierung fraktaler Bilder. Es ist mit ihnen ebenfalls problemlos möglich, bereits vorhandene Strukturen aus der Natur mathematisch modellieren und am Computer simulieren zu lassen. Man konnte deutlich erkennen, dass die Struktur einer derart komplexen Pflanze wie des Farns durch nur vier affine Abbildungen kodiert werden konnte, was äußerst erstaunlich ist, wenn man beachtet, wie wenig Information aus Sicht des IFS benötigt wird. Die sich daraus ergebenden Anwendungsmöglichkeiten sind sicherlich sehr vielfältig. So wurden IFS bereits zu einer sehr effektiven Komprimierungsmethode weiterentwickelt. [M]  [M] [Peit92] S. 473ff. Man darf daher auch in Zukunft davon ausgehen, dass die Forschung an diesem neuen Feld weiter vorangetrieben wird.

Die fraktale Geometrie ist ein sehr interessantes, jedoch auch sehr umfangreiches Teilgebiet der Mathematik. Im Rahmen dieser BeLL war es daher nur möglich, einen Bruchteil dieser Thematik zu behandeln. So war es beispielsweise nicht möglich, auf den Bezug zur Chaostheorie sowie die Mandelbrot- und Juliamengen einzugehen. Dennoch hoffe ich, durch Betrachtung der Arbeiten von Koch, Cesàro, Sierpiński, Mandelbrot, Hutchinson und Barnsley ein grundlegendes Verständnis der Konzepte dieser neuen Art von Geometrie vermittelt zu haben.
Die Recherche zu den Themen sowie die Erstellung des Programmes IFS-Generator erforderte ein hohes Maß an Selbstständigkeit sowie die Fähigkeit zum Autodidaktimus. Ich bin überzeugt, durch diese Besondere Lernleistung einen wichtigen Schritt für ein eventuelles Studium getätigt zu haben.
Insgesamt habe ich sehr viel Interessantes und weit über den Rahmen des Schulunterrichts hinaus Gehendes gelernt und anwenden können. Daher bin ich äußerst zufrieden über die Tatsache, diese BeLL durchzuführen.

Flensburg, im März 2011

Adrian Jablonski

In diesem Anhang finden sich einige erläuternde Informationen zu meinem Programm IFS-Generator sowie weitere Materialien.

Im Rahmen dieser BeLL ist das Programm IFS-Generator entstanden. Es implementiert die Funktionalität der oben erläuterten IFS. Die graphische Oberfläche der Software ist aus einem Zeichenfeld (DrawPanel) und aus einem Ausgabefeld (OutputPanel) aufgebaut.
Im Zeichenfeld können gemäß der im Hauptteil beschriebenen Methode Abbildparallelogramme erstellt werden, die jeweils eine affine Abbildung repräsentieren, und somit ein intuitives Definieren des Hutchinson-Operators erlauben. Dabei kann jedes dieser Parallelogramme im Programm an sog. Anfass-Punkten [N]  [N] Dabei dienen die blauen Punkte in der Mitte zur Rotation (mit dem Mausrad), zur Translation sowie zur Vertauschung der Eckpunkte (mittlere u. rechte Maustaste; damit lassen sich Spiegelungen einfacher definieren), wohingegen die roten Punkte in den Ecken die Skalierung und Scherung des Abbildparallelogramms ermöglichen. mit der Maus transformiert werden, wodurch sich ebenfalls die repräsentierte affine Abbildung ändert. Dabei ist jedoch zu beachten, dass IFS-Generator nicht prüft, ob es sich dabei um eine Kontraktion handelt, da der rechnerische Aufwand zu groß wäre. Stattdessen kann man sich als einfache Regel merken: Eine Abbildung ist mindestens dann eine Kontraktion, wenn sich das Abbildparallelogramm innerhalb des Urbildparallelogramms befindet. [O]  [O] vgl. [Baum01] S. 211 Nachdem man die Abbildparallelogramme erstellt hat, werden aus drei Punkten des Urbildparallelogramms und jeweils drei Punkten eines Abbildparallelogramms zwei lineare Gleichungssysteme gemäß Formel 12 aufgestellt und mit Hilfe des Gaussschen Algorithmus [P]  [P] Es handelt sich hierbei um eine algorithmische Kombination des Einsetzungs- und Additionsverfahrens, vgl. auch [Baum01] S. 8 gelöst, wodurch man die Elemente der Abbildungsmatrix und des Translationsvektors erhält, die die durch das Parallelogramm repräsentierte affine Abbildung bilden.
Diese affinen Abbildungen werden dann an das Ausgabefeld übergeben. Dieses bietet die Möglichkeit, den Attraktor des IFS entweder durch Verwendung des deterministischen (“MVKM starten”) oder des Chaosspiel-Algorithmus (“GVKM starten”) zu berechnen. Dabei kann die Farbe, in der dieser dargestellt werden soll, frei gewählt werden. Darüber hinaus bietet das Ausgabefeld die Möglichkeit, im Chaosspiel-Modus für jede verwendete affine Abbildung des Hutchinson-Operators eine eigene Zufallsfarbe zuzuweisen, wodurch man erkennen kann, welche Abbildung für welchen Punkt verantwortlich ist. Ferner wird ebenfalls die Bestimmung der Box-Dimension des gezeichneten Attraktors, das Abspeichern der Parameter sowie das Erstellen von Screenshots unterstützt.
Eine besondere Funktion des Programmes ist jedoch der Collagen-Modus. Er erlaubt es, gemäß dem Collagen-Satz von Barnsley, ein gegebenes Bild in ein IFS zu kodieren. Dazu lädt man das Bild in die Zeichenfläche, wo man es durch affine Kopien seiner selbst komplett überdecken kann. Wenn man anschließend den Attraktor zeichnen lässt, sollte in etwa das gegebene Bild dargestellt werden (natürlich nur einfarbig).
Es folgen einige Screenshots der Software:

[Barn95]	Barnsley, Fraktale, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995
[Baum01]	Baum, Lind, Schermuly u.a., Lineare Algebra mit analytischer Geometrie (Leistungskurs), Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 2001
[Peit92]	Peitgen, Jürgens, Saupe, Bausteine des Chaos: Fraktale, Springer-Verlag Berlin, und Klett-Cotta, Stuttgart, 1992
[Mand91]	Mandelbrot, Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991
[Gruh06]	Gruhn, Jozbasic, Aus der Schulgeometrie: Definition und Klassifikation von Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen, Universität Hamburg, http://www.math.uni-hamburg.de/home/koch/lehre/sose06/psem_frak_geom/Aus_der_Schulgeometrie.pdf (30. November 2010)
[Spre09]	Sprengler, Affine Abbildungen im ℝ2, Gymnasium Hammerskeil, http://www.mspengler.de/BAUSTELLE/pdf2HP/AffinSkript.pdf (26. November 2010)
[Reit06]	Reiter, Die Ästhetik der Fraktale, 2006, http://www.zonk.at/fraktale/rafael_reiter_die_aesthetik_der_fraktale.pdf (03. November 2010)
[WP1]	Wikipedia, Diskrete Topologie, http://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Topologie (24. Januar 2011)
[WP2]	Wikipedia, Fraktale Dimension, http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension (30. Januar 2011)
[WP3]	Wikipedia, Dimension (Mathematik), http://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Mathematik) (30. Januar 2011)
[WP4]	Wikipedia, Lebesgue’sche Überdeckungsdimension, http://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue%E2%80%99sche_%C3%9Cberdeckungsdimension (30. Januar 2011)
[WP5]	Wikipedia, Fraktal, http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal (3. November 2011)
[WP6]	Wikipedia, Abgeschlossene Menge, http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge (6. März 2011)
[WP7]	Wikipedia, Iterated Function System, http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function_system (23. Februar 2011)

Abb. 4	[Barn95] S. 86
Abb. 16	Boergens, Technische Hochschule Mittelhessen, http://homepages.fh-friedberg.de/boergens/marken/04_01/bild05_marke04_01.png (27. Februar 2011)
Abb. 21	http://www.flickr.com/photos/white_hamster/3320963199/ (14. März 2011)

Sofern nicht anders angegeben, stammen alle sonstigen Bilder aus meiner eigenen Produktion.